02 遊覽時空 Navigating Through Spacetime

  數學是一種精緻而完美的語言，它可以用於描述相對論是如何適用於物理宇宙和整個時空的，而這種描述包括了在黑洞附近所發生的奇怪行為。雖然數學的描述強大而準確，但對於那些沒有經過適當的專業培訓的人來說，也可能是一門令人生畏的外語。描述性的言辭無論多麼雄辯，都缺乏數學方程式的嚴謹和強大，並且是不精確且局限的。然而圖像(據說是)勝過千言萬語，它不僅是一種有效的折中方案，也是一種非常有用的將發生的事情可視化的方法。因此花一些精力來理解這種被稱為時空圖的圖畫是非常值得的，這將有助理解黑洞周圍時空的性質。

  時空圖

  圖3展示了一個簡單的時空圖。依照傳統，「類時」軸是在頁面中垂直的那一根，而「類空」軸則被畫成垂直相交於它。當然，我們實際需要四根軸來描述時空，因為有三根類空的軸(通常表示為x、y和z)和一個類時的軸。不過兩根軸就足以實現我們的意圖了(而且四根相互垂直的軸也畫不出來)。這兩根軸相交的地方被稱為原點，可以被視為構造其時空圖的觀察者「此時此刻」所在的點。一個理想化的瞬時事件，例如按下相機快門，發生在特定的時刻和特定的空間位置。這樣的一個瞬時事件由時空圖上的一個點表示，對應於所討論的時間和空間位置。圖3中有兩個點，它們在空間上是分開的(它們不發生在空間軸上的同一點)，但它們又是同時的(它們在時間軸上具有相同的坐標)。你可以想像這兩個點對應於兩個間隔一段距離的攝影師同時按下快門，拍攝同一個的景象。如果點代表事件，那麼時空圖中的線代表什麼？一條線只是顯示出一個物體在時空中通過的路徑。當我們過著我們的生活時，我們穿越時空，並在身後留下路徑(有點像蝸牛在它後面留下一條閃閃發光的黏液痕跡)，它是時空中的一條線，有一個專業術語叫世界線。如果你整天待在家裡，你的世界線就是一個通過時空的垂直路徑(例如，空間坐標=「金合歡大道22號」)。你在時間上向前，但是在空間中不動。另一方面，如果你進行了一次漫長的旅行，你的世界線會因為你的距離隨著時間改變而傾斜，因為你在空間和時間上都進行了移動。

  

  圖3　一個簡單的時空

  例如，考慮圖3所示的世界線，這條線的一部分是垂直的，然後就變成了傾斜的。這對應於某個實體的世界線，在垂直的線所對應的時間範圍內，這個實體是靜止的。一個例子是一位攝影師丟在椅子上的相機(它的世界線由於位置沒有變化，所以是垂直的)，然後它被偷走了(當空間位置連續變化時)。這條線傾斜的部分就是它的空間位置隨時間變化的部分。這條線的斜率會告訴你距離隨時間的變化率，而這通常被稱為速度。在這種情況下，這是竊賊帶著贓物逃跑的速度。小偷逃走的速度越快，或者說他在給定的時間內經過的距離越遠，這條線這一部分的夾角就越大。當然，小偷帶著贓物逃離的速度有一個固定的上限，就是光速，正如第1章所討論的那樣。光束的軌跡將由最大限度傾斜的線(通常通過巧妙設計的單位，最大傾斜時間線在時空圖中與時間軸成45度)來表示。因為沒有物體可以比這個速度更快，所以沒有世界線可以與時間軸形成更大的夾角。

  時空圖上的世界線具有一個最大傾斜角度，對應於光速這個最大速度，引出了被稱為光錐的重要概念。這個概念非常簡單：你只能通過一些前因對宇宙產生影響，並且因果關係的傳播速度不能快於光速。因此，你此刻的「影響範圍」被包含在一個有限的時空區域內，即如圖4所示的與正時間軸成45度角以內的部分。此外，你只能受到傳播速度不比光速更快的事件的因果鏈的影響。這就是說，只有位於與負時間軸成45度角以內的事件才會在當下影響你。如果我們現在畫一個具有兩個類空軸和一個類時軸的時空圖，那麼圖4中的三角會變成如圖5所示的圓錐，而這就是我們所說的光錐。圖5中的光錐描繪一個觀察者(視作他此時此刻位於原點)原則上不需要藉助破壞宇宙速度的限制，即超光速行進，就可以到達(或在過去已經到達)的空間區域。以正時間軸(未來的時間)為中心的區域被稱為未來光錐，而以負時間軸(過去的時間)為中心的圓錐被稱為過去光錐。

  圖4　一個簡單的光錐圖

  因此，公元前44年暗殺尤利烏斯·愷撒(Julius Caesar)是你過去的一部分，因為這個事件與你之間存在著可以想像的因果聯繫(如果你必須在學校學習它，這就表明存在因果關係)。因為來自仙女星系的光可以到達地球上的望遠鏡，所以它也是你過去的一部分。然而，光需要600萬年才能照到我們，所以600萬年前的仙女星系是你過去的一部分並坐落在你的光錐上。今天的仙女星系，甚至是公元前44年的仙女星系都在你的光錐之外，都不能在此刻影響你，否則因果聯繫的傳播就必須比光速更快。

  圖5　一個表現了某個特定觀測者的光錐的時空圖

  到目前為止，我們在本章中看到的三個時空圖，它們的軸被標記為時間和空間。事實上，專業人士通常不會在時空圖中畫上軸的標籤，甚至連軸也不畫。時間垂直空間水平是常規操作，但這並不會導致專業天體物理學家都變得草率馬虎(雖然這倒不是稀罕事)，實際上是因為所有觀察者都無法就時空中的確切位置達成共識。在狹義相對論的世界中，同時性的概念被打破了：一個觀察者看到兩個事件同時發生，但並不完全意味著它們對其他觀察者來說也是同時發生的。

  因此，兩個攝影師「同時」按下他們的相機快門，在一個相對相機快速行進的飛船上的觀測者的視角來看，這件事並不是同時發生的。這個觀察者推斷出的結論將是一個相機在另一個之前被按下。在圖3中，我畫了垂直高度相同的兩個點(之前我斷言兩個事件同時發生)，但出現在快速行進的觀測者的時空圖上時，它們將出現在高度不同的位置。愛因斯坦的相對論強調說這位太空人的時空圖和我的一樣有效。因此，如果時空圖上的點位取決於觀測者的視角，即他們的參照系，那何必把它們畫出來呢？

  關注一個運動中粒子的世界線有助我們理解這一點；我們現在將畫一個新的時空圖，粒子帶著它的光錐一起在時空中運動(這個技巧被稱為使用共動參照系)。要注意在圖6中，粒子的路徑即其世界線始終保持在光錐內部，因為它的運動不能比光速更快。

  愛因斯坦的狹義相對論是他的廣義相對論的一個子集，適用於一組有限的物理情境。 在時空不斷擴張的前提下，我們需要一個超越狹義相對論的概念框架，一個突出的例子就是不斷膨脹的宇宙。在這種情況下，因果關係的表象即為：你無法運動得比你身邊局部空間裡的光速更快。

  物體怎麼知道要去哪裡

  雖然光子沒有質量，但事實證明它們仍然受到引力的影響。不過最好不要把這看成是某種力的作用，我們應該認為它是由時空的曲率導致的。通常人們認為光子沿著直線行進，這讓我們得到了「光線」的概念。然而在彎曲的時空中，光子的行進路徑被稱為測地線。儘管測地線(其名稱來自測地學，即測量我們的行星表面陸地的位置)的含義是基於地球的，但它也是描述整個宇宙中時空性質的重要概念。如果空間沒有彎曲[就是完全等同於我們可能在學校從歐幾里得(Euclid)或他的繼承者之一那裡學到的日常幾何學]，那麼測地線將是光線會走過的「直線路徑」。但兩點之間的最短距離，即光線「想要」走的路線，術語是「零測地線」。在彎曲的空間中，兩點之間的最短距離並不是我們所預想的直線，但「測地線是彎曲空間中的直線」。直線也可以被描述為，你保持在相同的方向上移動時的路徑。通過比較球面上的經線，可以看出曲面上的幾何學有多麼不同。如圖7所示，兩條相鄰的經線(在赤道處彼此平行)將在極點處相遇於一點。然而在平直空間中，平行線只有在無窮遠處才會相遇(依據歐幾里得的最後一個公理)。

  圖6　沿其世界線運動的粒子的時空圖。該粒子總會被包含在其未來光錐的內部

  圖7　球體上的經線在赤道處是平行的，並且在極點處相遇於一點

  打個比方，在存在質量的這種時空被彎曲的地方，不受任何外力影響而自由運動的光線或 「測試粒子」(物理學家使用的一種假想中的裝置)在兩個事件之間移動時，這種曲率實際上會在移動的路徑上體現出來。兩個事件應該被視為四維時空中的兩個點，每個事件以x、y、z、t的形式表示。

  被稱為度規的制度規定了我們如何用時鐘和尺子測量空間和時間中事件的間隔，它還為解決幾何學的問題提供了基礎。一個簡單的例子是畢達哥拉斯定理，它告訴我們如何計算平面上兩個點的距離。愛因斯坦場方程的解則告訴我們如何在物質的分布已知的情況下計算時空的度規。我們用這種方法來構造真實宇宙的測地線。例如，廣義相對論的第一批觀測證據之一就是在日食期間測量太陽導致的星光彎曲(日食是測量靠近日面的恆星表觀位置的好時機，因為來自日面的光被月亮擋住了。1919年，亞瑟·愛丁頓爵士抓住了一個機會)。太陽的質量會彎曲時空。因此，從遙遠的恆星到地球上的望遠鏡的最短路徑(測地線)並不是一條直線——如圖8所示，它被太陽的引力場彎曲了。

  圖8　諸如太陽之類的質量會在時空中引起變形或彎

  星光的彎曲表明空間是彎曲的，但愛因斯坦的廣義相對論告訴我們實際上彎曲的是時空。因此，我們可以預期質量對時間也有一些奇怪的影響。實際上，即使是地球的引力場也足以使地球上的時鐘比在外太空中的更慢，儘管變化很小但可以測量(大約十億分之一)。黑洞事件視界附近的引力效應要強得多。因此，即使對於最簡單的非自旋黑洞，它附近的時間流逝也與離黑洞很遠的時間流逝相差甚遠。這是一個真實的屬性，並不會隨著測量方式不同而變化(例如用原子鐘或是電子表)。時間流速的改變直接來自由質量引起的時空曲率，這種效應會使光錐向有質量的物體傾斜。圖9顯示了這種情況的大體效應。

  圖9　黑洞周圍的時空圖。顯示了事件視界上物體的未來光錐是怎樣位於事件視界內的

  黑洞會顯著影響光錐的傾斜方向。粒子越接近黑洞，它的未來光錐越向黑洞傾斜，因此黑洞會越來越不可避免地成為其未來的一部分。當粒子穿過事件視界時，其未來所有可能的軌跡都在黑洞內終結。而粒子剛好位於事件視界上時，光錐會大幅傾斜，以至於其一側與事件視界平行並且其未來完全位於事件視界以內，並且不可能逃出黑洞。圖9本質上是「局域時空圖」的代表，因為這些光錐可以讓你知道處於不同位置的測試粒子所經歷的局域條件。在這個圖中，時間沿著頁面向上增加，所以這個圖也表現出了黑洞是如何形成並因墜入的物質而增長的。

  第1章中，我們討論了米歇爾和拉普拉斯的暗星，它們可能在周圍的軌道上維持行星系統，像我們的太陽系一樣，實際上我們說的是黑洞。我們只能通過它的引力拉扯而知道附近有一個黑洞。這可能會讓你以為表徵黑洞的唯一屬性就是它的質量。事實上，黑洞是否在旋轉會對其性質產生巨大影響，而我將在第3章中解釋這種影響是如何產生的。