4 數學書都是從「結尾」開始寫起

  一般來說，數學書都是採用「先寫定理，再寫證明過程」的編寫形式。

  長久以來，這種編寫形式一直深受學術界的信賴。然而從另一方面來說，這種形式也非常容易讓人產生隔閡感，以致很多自稱「簡單易懂」的數學入門書會特地註明其內容「省略了證明過程」，從而吸引讀者購買。

  這種「先寫定理，再寫證明過程」的形式之所以很難懂，是因為它與我們平時經歷事物的順序幾乎完全相反。我們常見的敘事過程都是「從開頭到結尾」，而數學書卻變成了「先結尾再開頭」。

  打個比方，當我們遭遇到一些麻煩事時（需要解決問題時），如果沒有現成的解決方法，那我們就只能先從可能性比較大的方法試起，先找到一些針對簡單情況或是特殊情況有效的方法，然後再想辦法將其普適化，擴大其適用的範圍，最後總結成抽象且通用的一般規律。

  然而，數學書卻是以定義或公理為起點，以證明的形式來推導出定理。也就是說，剛才我們在解決問題的過程中最後總結出來的「抽象且通用的一般規律」，到了數學中反而變成了起點，而「麻煩事」則是被放在了最後，在提到各種定理的具體應用例時才會出現。更何況，定理本身就已經算是一種「抽象且通用的一般規律」。而為了推導出定理，還需要從更加抽象，甚至讓人說不出其存在有何意義的定義和公理來寫起（只有當我們理解了整個證明過程後，定理和公理的意義才會顯現出來）。也就是說，如果以我們的生活經驗——「從具體到抽象」——作為基準的話，那麼數學書的敘述順序則完全是前後顛倒的狀態。

  好消息是，既然搞清楚了這一點，那麼我們的對策也很明確：只要試著把數學書的敘述順序再「顛倒過來」即可。

  例如，當我們遇到一個定理時，可以先看一看例題和練習題，這樣就能知道這個定理可以用來解決什麼樣的問題。如果對自己學習的內容有哪些應用感到好奇，可以在學習的過程中時不時地來確認一下。

  如果現在正在學的數學書中沒有很好的例題，那麼也可以參考一下其他書。數學類的百科全書、本書中介紹的查找文獻的方法以及目錄矩陣表（方法28）都能夠派上用場。

  在這裡，我想向大家推薦幾本數學類的百科全書。首先，《岩波 數學辭典（第4版）》（岩波書店，2007）應該是最經典的一本。而《岩波 數學入門辭典》（岩波書店，2005）則主要包含了到大學為止的數學知識，講解也簡明易懂。還有德國的dtv-Atlas系列的日譯本《彩色圖解 數學事典》（共立出版，2012），主要靠彩色圖解和要點得當的講解而飽受好評。《現代數理科學事典 第2版》（丸善，2009）則是涵蓋了數學在各類科學中的應用。最後還有《普林斯頓數學指南》（The Princeton Companion to Mathematics），這本書顧名思義，比起百科全書，更像是一本全面的數學指南書，因此獲得了很高的評價。其中不僅介紹了數學概念的定義，還對其靈感來源和歷史等背景知識進行了講解。

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  同理，如果我們能夠先了解一下這個定理是由誰提出的，或者再更準確一些，是由誰、在面對什麼樣的困難或是問題時提出的，這樣也會有助於我們按照「從具體到抽象」的順序去理解它。也就是說，我們在學習數學的過程中還可以適當接觸一下數學史。

  例如，海爾和華納所編寫的《分析教程》（Springer-Verlag東京，1997→丸善出版，2012）就是一本獨特的教科書。作者大膽地引入了數學史，並按照分析學（微積分學）發展的歷史過程來對其進行了講解。書中先是介紹了微積分起源於哪些具體的問題，以及人們是如何從各種不同的解決方法中提煉出了普遍的規律，創立了微積分學。不僅如此，書中還介紹了採用以往那些更加直觀且易於理解的解法會遇到什麼樣的瓶頸，為了突破瓶頸，人們又是如何進一步將微積分精確化和抽象化。讀了這本書之後，相信大家也就能夠理解為什麼數學書要編寫成現在這種初學者很難理解的形式了。