5 掌握證明過程的讀寫能力（literacy）

  最後，讓我們再來討論一下證明問題。

  讀不懂數學的人，都是卡在了證明上。

  很多人都不喜歡看證明過程，想要避開，而事實上在很多時候，他們也的確這麼做了。就連經常需要使用數學的人，也時常會在看書時跳過證明的過程，甚至老師在出題時也有避開證明題的傾向。

  在這裡，讓我們將目光聚焦到證明的意義上，換一種積極的方式來思考。

  數學通常會以定義，或是以前曾經證明過的定理為出發點，按照推理規則來證明新的定理。有了這種固定的形式後，無論是曠世奇才的頭腦中突然閃現的想法，還是堅韌不拔的努力者用時間和汗水換來的成果，都能夠被添加到人類的數學知識庫中，獲得永恆的生命。即使是像我們這樣平庸的人，也能夠理解這些知識的正確性和意義（雖然無法做出同樣的創新）。正是這一點，賦予了數學獨一無二的強大力量。

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  只要我們能夠讀懂證明過程，就能夠讀懂用數學寫成的書籍，獲取這些強大的知識。甚至我們也可以用自學的方式去學習。

  有一本書非常適合用來提升數學證明的讀寫能力，它就是丹尼爾·索羅撰寫的《證明的閱讀與寫作：數學思維過程入門指南》（共立出版，1985）。

  書中首先講了數學的證明過程會省略哪些內容，導致人們閱讀起來感到困難。然後作者還認為，只要先學會寫證明，就能夠學會讀證明。這種做法看上去是繞遠路，但實際上卻是抄了捷徑。

  比起詳盡的地圖和路線圖，數學的證明過程更像是人們在山中摸索道路時折下樹枝做的記號。如果我們既不認識路，也不去山裡親自走一走的話，很難光靠折下的樹枝來重現前人走過的路線。

  於是，《證明的閱讀與寫作》這本書將數學的證明手法和數學家在做證明時的思維方式進行了分類，把證明的「語法規則」提煉了出來，並且對這些規則分別適用於哪些情況也進行了講解（相關內容可以參考本書第666頁的表格）。這樣一來，我們就可以從這本書中學習寫證明時所需要的最基本的知識。

  與此同時，這本書也教會了讀者如何去掌握證明的「語法規則」，從而提升閱讀證明過程的能力。

  對初學者來說尤其需要注意的一點就是，人們在寫證明過程時通常會省略掉一部分內容。這就跟爬上了高處後，會把梯子撤掉一樣。除了反證法、歸納法這種著名的證明方法以外，還有一種過於基礎，甚至連名字都沒有的證明方法。在這本書中，作者將其命名為前進後退法（forward-backward method），並進行了說明。一段完整的證明過程通常會按照從條件向結論推導的方向（forward，前進）來記述。然而，寫這段證明的人還會在腦海中從結論向條件的方向反向推導（backward，後退）。正因為有了這個反向推導的過程，我們才能夠更加高效地找到證明路線，不會因眼前的岔路過多而付出高昂的試錯成本。

  在最終寫出來的證明過程中，通常不會體現出那些失敗了的試錯過程和從結論反向推導的過程。

  當我們在閱讀數學書上的證明過程時，有時會感到一絲絕望，因為書上寫的證明過程的確能夠成立，但是我們自己絕對想不到可以這樣去證明（有時，我們還會覺得證明中的某個步驟完全是憑空出現的）。在這種情況下，往往其背後就存在著反向推導的過程。

  對於許多數學家來說，反向推導是一個理所當然的步驟，甚至他們自己都沒有意識到這一點，完全是在不知不覺中完成的。而對於我們來說，只要意識到了這一點，就不會再將數學證明視為天才的偉業，讓它重新落回人間。

  證明方法的總結

  [註：在最大最小證明法中，假設實數集合S具有最大值和最小值]