一名自學者的記錄 數學

  主人公簡介

  ·高中選擇了文科後就放棄了數學，現在剛剛進入一所私立大學就讀。

  ·沒能考上第一志願，被保底志願的大學錄取，專業是經濟學。

  ·無奈之下只能開始學數學，但是卻不知道自己該從哪裡學起，感到十分煩惱。

  「事情為什麼會變成這樣……」

  沒想到我的第一志願到第三志願竟然全部落榜，最後錄取到了保底大學的經濟學專業（本來想復讀一年，也沒能如願）。

  系裡為入學考試沒選數學的人專門開了數學課，而今天正是上課的第一天。然而我已經很久沒有碰過數學，完全跟不上老師上課的節奏，甚至連自己是哪裡沒聽懂都搞不清楚。

  把現狀寫下來

  首先，我把自己當前的狀態整理成了一張學習路線圖（方法3）。

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  現在的我「連自己的數學學到了什麼程度都搞不清楚」，而我的目標是「掌握學習經濟學時需要用到的數學知識」。

  繪製可能的階梯

  那麼，我應該從哪裡開始學起呢？

  我決定先把自己已經掌握了的知識寫下來，按照從簡單到困難的順序來繪製一座可能的階梯（方法2）。

  會背乘法的九九口訣→會做分數的計算→會解一次方程……→但是二次方程的求根公式好像有點問題（已經記不清了）。

  數學的學習路線圖

  可能的階梯

  我在網上搜索了一下，發現首次學習二次方程的求根公式應該是在初三，然後到了高一還會再學一遍。

  「竟然要從初三的數學開始補起啊……」

  所以最終的結論就是，我至少需要從高一的數學開始重新補習，而且時間也非常緊迫。

  可是我應該看什麼書才好呢？練習冊還是教輔書？

  「最薄的練習冊」讓我喪失了動力

  我來到了車站附近的書店，從教輔書架上挑了一本最薄的練習冊，這一本練習冊就覆蓋了高中數學的全部內容。

  我的想法非常簡單，練習冊越薄，我就能越快地把它做完。

  事實證明，這並不是一個好主意。這本練習冊應該是面向那些學完了高中數學，想要練習解題的人。雖然書上也簡單地講解了一下知識點，所以有的題目我能夠解出來，但是也有很多題就算我絞盡了腦汁也做不出來。

  由於時間有限，有些做不出來的題我只能忍痛割捨，繼續往下學習。但是這樣一來，我就越來越分不清楚哪些知識點是自己已經掌握的，還有哪些知識點是自己還沒有掌握的。

  內心的焦慮在一天天地放大，然而付出了時間和努力後卻看不到自己的進步，這讓我感到十分痛苦。結果還沒到一周，我就逐漸喪失了學習的動力。

  1/100計劃法

  既然練習冊里的題做不出來就會原地踏步（感受不到自己的進步），那麼換成聽課的話應該就能順利一些了吧。

  一開始我打算在網上看視頻學習，但是後來轉念一想，覺得還是用總量比較固定的學習資料更好一些。這樣的話，在學習過程中能夠看到剩餘的量不斷減少，我也會獲得一些動力。

  1/100計劃法（方法4）是指將學習的總量除以100，每次只學1/100。因此，作者建議先找到一本自己想學習的書，然後再計算其總頁數的1/100是多少頁。

  於是，我試著去找了一下有沒有附帶授課視頻（音頻）的輔導書。

  圖書館的在線檢索系統（OPAC）上搜不到合適的書，但是在谷歌上搜索了相關的關鍵詞後，我找到了一本名叫《可以聽長岡老師講課的高中數學教科書》的書。買家的評價都是好評居多，不少博主也為想要重新學習數學的人推薦了這本書。

  這本書似乎是將高中數學階段的所有教科書（數學I、數學A、數學II、數學B、數學III、數學C，共六冊）全部合併在了一起，然後附上了作者的授課音頻和詳細的參考答案。讀者可以一邊聽講，一邊看書。

  整本書共有984頁，pdf格式的參考答案共有582頁，授課音頻MP3文件的總時長約為106個小時。雖然不是精確地按照1/100來計算，但如果我每天聽1小時音頻的話，大概106天就能全部聽完一遍了。

  由於這本書是由教科書構成，因此還配有一些例題和練習題。我決定先以聽音頻和看書為主，習題再挑別的時間來做。

  兩大動力來源

  把現階段的目標和總的學習量都定下來了以後，我又製作了一份填色式的學習日誌（方法12）。

  當我學完數學I的第一章第一節第一小節「整式」後，就給其對應的格子填上了顏色。有了這個填色表後，我就能夠清晰地看到自己的學習進度。

  這樣一來，我看書學習的過程就變得順暢了起來。將自己的進度可視化以後，內心的焦慮也少了許多。

  同理，授課音頻也是只要聽了就會減少，為我提供了不少動力。由於這本書相當於是教科書的合訂本，所以我覺得光是看書的話會有些無趣，但是有了授課音頻就好了很多。音頻並不只是在朗讀書上的內容，還會有針對性地對關鍵的部分進行講解。當我走神漏聽了某一句話時，還可以立刻退回去重新聽。每一節的音頻只有十幾分鐘，因此我只要有空閒時間就可以拿出來聽一聽。

  光靠聽課無法理解的內容

  雖然這本書附帶的授課音頻很簡明易懂，但數學畢竟是數學，有很多知識點光靠聽課還是無法理解。

  特別是定理的證明，光用耳朵去聽的話會很難聽懂。

  有時就算是感覺自己聽明白了，過後也根本回想不起來。這樣下去的話，學過的內容可能也很快就會忘記，和一元二次方程的求根公式落得同樣的下場。

  《自學大全》中提到了一種名叫抄寫（方法43）的方法，認為這種方法可以將閱讀者注意力調動起來，用於理解書中的內容。於是我決定將沒有聽懂的內容抄寫到筆記本上。果然，光是抄一遍，就覺得自己的理解深入了許多。

  《可以聽長岡老師講課的高中數學教科書》學習日誌

  針對餘弦定理的證明製作一份筆記

  然而，還有一些光靠抄寫依然理解不了的內容。遇到這種情況，我會使用簡化版的鈴木式六分筆記（方法45）來深入學習，具體做法如下。

  ① 把理解不了的部分複印下來

  ② 在有疑問或是不理解的語句下面畫線，查閱相關的資料

  我感到不理解的語句、用語、定義和定理大多都能在前文中找到相關的說明（也就是說，因為我沒有記住，所以才理解不了）。在這種情況下，我會翻書找到對應的內容，然後同樣將其複印下來。如果授課音頻中有相關的講解，那麼也要聽寫下來記在旁邊。

  如果在這本書中找不到答案的話，就只能再去查閱其他的書或者是百科全書。幸運的是，在這本書中我還沒有遇到過這樣的情況。

  與此同時，我也遇到了一個麻煩。由於這本書是6本教科書的合訂本，因此它的目錄和索引也都分成了6份。比如，當我想要查找「餘弦定理」的時候，如果我不記得它在數學I中出現過，那麼就只能把這6冊書的目錄或是索引全部翻看一遍。

  為了解決這個問題，我把這6冊書的索引重新手抄整理了一遍，親手製作了一份綜合索引。

  ③ 試著把複印下來的內容用自己的語言解釋一遍

  這裡我並沒有寫成規範的文章，而是採用了圖示的形式，先把關鍵點逐條寫下來，再用箭頭將它們連起來。

  一時半會想不起來的時候，我還運用了出聲思考（方法52）的方法。先把想到的內容全部出聲說出來，想辦法口頭解釋清楚，之後再整理成文字。

  ④ 憑藉著記憶，把書上的內容儘量都寫下來

  例如，如果是證明某個定理，那就憑藉著記憶，自己來把證明的過程再寫一遍。

  將鈴木式六分筆記應用到數學學習中

  想要證明餘弦定理，需要先想辦法利用銳角三角形凸出來的部分，或是鈍角三角形凹進去的部分（圖中的陰影部分）繪製出一個直角三角形，然後再用勾股定理去證明。

  所以我們可以先用邊長c加上或是減去點C的橫坐標（bcosA，這個可以利用三角函數的定義求出來），求出BH=丨c-bcosA丨。

  這樣一來，直角三角形BHC的三條邊a（BC）、CH和BH應該符合勾股定理，只要列出等式後整理一下就能夠得出餘弦定理。

  ⑤ 最後對照書本，用紅筆修改自己寫的內容

  反覆解題

  在剛開始學習的階段，為了能夠儘快往下進行（先形成自己的學習節奏），我幾乎沒怎麼做過練習題。現如今，學習走上了正軌後，我也想開始做題試試了（心態逐漸從容了起來）。

  我的做法如下：

  ① 讀題，判斷這道題自己是否會解

  具體的判斷依據如下：

  ·自己能否說出這道題應該用哪些知識點（公式、解法）？

  ·知道了需要用到哪些知識點後，能否再說出解題應該先從哪裡入手？

  如果這兩個問題都能回答得上來，那麼我就認為自己應該會解這道題。

  ② 如果覺得自己會解，那就動手去解一下

  解答完畢後再看看練習冊後面的解說。如果自己得出的答案和參考答案相同，那就繼續去看下一道題，如果不同的話，就用紅筆來修改自己的解題過程。

  順便確認一下自己在①中作出的回答是否正確，用紅筆記在旁邊。

  接下來，再把答案合上，把這道題重新再做一遍（方法54「不同的解法」）。

  ③　如果在解題過程中卡殼了，沒做出來，就翻開參考答案看一下

  看答案時，首先確認一下自己在①中作出的回答是否正確。

  然後再看一看參考答案中有沒有用到其他自己之前沒有想到的知識點或是解題思路。如果有的話，就重新用這些新的知識點和解題思路來把題再解一遍。

  如果發現自己在解題過程中出現了錯誤，導致解不出來，就從出錯的位置開始重新解一下。

  ④ 如果覺得這道題自己解不出來，那就直接去看參考答案

  看答案時，首先確認一下這道題需要用到哪些知識點。

  然後再看一下這道題應該從哪裡入手。

  搞清楚這兩點後，就先把答案合上，再試著自己去解題。

  重新繪製學習路線圖

  將這本《可以聽長岡老師講課的高中數學教科書》學到差不多一半後（也就是數學II快要結束的位置），我就開始尋找下一本書了。

  我以「高中數學、經濟數學」作為檢索關鍵詞，找到了一本名叫《改訂版 經濟學中出現的數學》的書，這本書主要是針對經濟學中用到的數學知識，難度是從高中數學起步。趁著這個機會，我回顧了一下這段時期的學習歷程，定好了接下來打算使用的教材，重新繪製了一張學習路線圖（方法3）。

  利用學習路線圖來進行回顧

  剛開始學習的時候，我連自己的數學究竟學到了什麼程度都搞不清楚。繪製了「可能的階梯」（方法2）後，我發現自己必須從初三到高一水平的數學開始補習。

  後來，（出於急切的心情）我試著找了一本最薄的練習冊，但是由於練習冊上有很多不會做的題，我的學習積極性大受打擊，嘗到了失敗的苦果。

  在那之後，我決定每天用固定的時間來學習《可以聽長岡老師講課的高中數學教科書》。有了授課音頻作為動力源泉，我的學習終於開始步入了正軌。現在，數學I、數學A和數學II的內容差不多快要學完了。

  《改訂版 經濟學中出現的數學》是從一次函數開始講起，以我現在的水平或許已經能夠看懂了。在學習《改訂版 經濟學中出現的數學》的過程中，如果遇到了不懂的知識點，也可以再拿出《可以聽長岡老師講課的高中數學教科書》，有針對性地學習一下（作者在前言中也說過沒必要非得從頭學起，可以從自己比較薄弱的知識點開始補習）。

  由於《改訂版 經濟學中出現的數學》一書沒有授課音頻，為了繼續讓自己找到學習的動力，我決定繼續製作填色式的學習日誌。

  除此之外，或許我還可以自己出聲朗讀（方法39），用手機錄音，當作授課音頻來聽。

  學習路線圖 ver.2

  故事中用到的方法

  ·方法3 學習路線圖

  ·方法2 可能的階梯

  ·方法4 1/100計劃法

  ·方法12 學習日誌

  ·方法43 抄寫

  ·方法52 出聲思考

  ·方法54 不同的解法

  ·方法39 朗讀

  故事中用到的學習資源

  ·【數學篇 理數篇】

  日本高等學校學習指導要領（平成30年發布）解說

  故事中登場的書籍

  ·（最薄的練習冊）

  ·長岡亮介《可以聽長岡老師講課的高中數學教科書 數學I·A·II·B「數列·向量」·III·C「矩陣·曲線·概率分布」》（旺文社，2011）

  ·尾山大輔、安田洋祐《改訂版 經濟學中出現的數學 從高中數學開始穩步前進》（日本評論社，2013）

  [1] 國際通用語言（Lingua franca），是指不同語言背景的人在交流時用作媒介的語言。「Lingua franca」一詞源自義大利語，其原本的含義是「法蘭克語」「法蘭克王國的語言」。中世紀以後，地中海沿岸的港口在貿易中使用的語言就叫作「Lingua franca」，是一種在義大利語中加入法語、希臘語和阿拉伯語後形成的混合語。後來這個詞就被用來泛指同一個集團中不同語言背景的人在交流時使用的語言。

  [2] 自古希臘流傳至西方諸國的論據的典型模板被稱為「topos」。庫爾提烏斯進一步延伸了這個詞的含義，用來表示文學創作的傳統主題。語言中的「慣用搭配」同樣也可以稱為「topos」。

  [3] 除了「善意原則」以外，「Principle of charity」還會被譯為「寬容原則」。哲學家蒯因和他的學生戴維森在討論「徹底翻譯」時就曾經應用過這一原則，使其變得廣為人知。再往前追溯的話，根據猶太教《塔木德》一書中（Arachin 5）的記載，拉比·梅爾也曾說過「人所說的話背後必有其理由」。

  [4] 學習率=實際用於學習的時間/學習所需的時間=學習機會×毅力/（學生的資質×課程質量×課程理解能力）

  [5] 卡·恰佩克著《鯢魚之亂》。日文版有多個譯本，比如栗棲繼翻譯的版本（早川書房，1998）以及小林恭二和大森望合譯的版本（小學館，1994）。

  [6] 1911年，由俄國芭蕾舞團（Ballets russes）首次演出的獨幕芭蕾舞劇。當時這部劇是俄國芭蕾舞團的著名劇目，其中玫瑰花魂由瓦斯拉夫·尼金斯基扮演，少女一角則是由塔瑪娜·卡薩文娜扮演。現在它已經成為世界各地芭蕾舞團的常備劇目。