同構學習法更能接近事物本來的面目
2024-09-26 10:31:35
作者： 羅振宇
因為這個世界絕大部分的知識領域，都可以分成兩類，也就是自然科學和人文學科。這兩個世界內部，往往都是同構的。
從1637年開始，一直到1995年，費馬大定理難住了人類三百多年。最後這個難題被誰解開了呢？是一個外行。美國普林斯頓大學數學系的教授，名字叫懷爾斯。但是請注意，雖然都是數學，但懷爾斯研究的領域跟費馬大定理沒關係，他研究的是橢圓曲線的學問。
費馬大定理所在的領域，叫模形式。它和橢圓曲線是數學的兩個分支，但是它們之間存在著一一對應的關係。說白了，一個是代數公式，它同時又對應著一個高等幾何結構。解開了這道幾何題，就間接地證明了費馬大定理。
一個領域的方法，可以對應解開另一個領域的問題。從一個領域入手，可以幫我們理解另一個領域的規律，這就叫同構學習法。
有一個心靈雞湯的故事是這麼說的，撕碎一張世界地圖，讓孩子拼起來。這個工作本來很難，但是孩子很快就完成了。為什麼？
因為這張地圖的背面，原來是一張人像，孩子是反過來拼人像的，人拼對了，那地圖也就對了。那句心靈雞湯的說法是，人對了，世界就對了。這也完美解釋了同構學習法。
我們來看幾個例子。
比如，很早就有人發現了音樂和數學的同構關係。從古希臘畢達哥拉斯學派開始，到克卜勒、伽利略等，這些人都研究過音樂與數學的關係。
數學家萊布尼茨曾說過：「從基礎來說，音樂從屬於數學。」
什麼聲音好聽、什麼聲音不好聽，都是由嚴密的數學規律決定的。有人並不是音樂天才，但是從數學這個角度進入，也可以創作出不錯的曲子。比如，有一個美籍奧地利作曲家叫勛伯格，他作曲不僅靠天分，還靠數學。他發明了一種「序列作曲法」，他通過在音符之間建立起一種數學式的模型來譜曲。
其實天才如莫扎特，他的音樂也暗自用了數學的規律。
當然，同構學習法最重要的用途，不是解題和創作，而是學習。也就是通過一個領域的知識，來理解另一個領域。
還是拿音樂來舉例子。奏鳴曲式如果用專業術語來講，是呈示部、展開部、再現部，或者ABA結構、AAB結構等，記不住。
奏鳴曲其實就好比議論文，是不同的說話方式，比如先寫一個論點，或者寫兩個論點，再寫幾個論據，接著再來一個反面論證，最後重述主題就結束了。
有時奏鳴曲式先來第一主題，有的奏鳴曲比較大，來個第二主題，這就是呈示部，也就是論點。之後，所謂的展開部，就是論證這幾個論點。議論文中還有一種論證方式叫正反論證，就是舉反例，奏鳴曲中也有，大調轉成小調，把一個光明的旋律變成黑暗的，讓你體會一下。
最後議論文要總結點題，奏鳴曲也一樣，主題要再現，也就是再現部。
莫扎特的奏鳴曲幾乎都是這樣的結構。奏鳴曲和議論文其實是同構的。
為什麼同構學習法有效呢？
因為這個世界絕大部分的知識領域，都可以分成兩類。一類是天然世界，一類是人造世界，也就是自然科學和人文學科。這兩個世界內部，往往都是同構的。
比如，在人造世界中，人的情感表達，無論是文字、音樂、美術，還是視頻，在深層邏輯上也是同構的。觸類旁通，說的就是這個現象。
我們再深看一層，其實「同構學習法」不僅是可以用一個領域解釋另一個領域，它還有一種更大的作用：用一個領域的知識，去揭開另一個領域被刻意隱藏的東西。
比如在藝術領域，如果從藝術講藝術，就會拼命強調藝術家的創造力。這當然沒錯，沒有創造力，還叫藝術家嗎？但是，如果只這樣理解藝術，就會忽略一個被刻意隱藏的因素，那就是技術。
很多藝術家，都有獨特的技術工具，但是他們往往秘而不宣。比如，英國有一位畫家大衛·霍克尼。他發現，歷史上有一批畫家簡直是神了，畫的肖像畫線條極其精準，簡直和照相機拍的一樣，而且畫得很快。像維米爾這樣的大師，是怎麼練出這門絕活兒的呢？
霍克尼經過多年研究後發現，原來他們用了暗箱，也就是我們中國人所謂的小孔成像原理。在畫畫的時候，用一台土法製作的投影儀把模特的形象投影在畫布上，勾出素描稿，再上色和塗抹，很顛覆吧？原來畫得像，不全是真功夫，還暗藏了機關。
學藝術的學生，往往總是被教導要學達·文西畫蛋，只要功夫深，鐵杵磨成針。在這個領域裡，大家都在談技法和創造，很少有人談利用工具。但是用同構學習法來理解這個領域，你就會知道，所有領域的進步，本質上都是工具的進步。
尋找藝術發展史中工具進步的蛛絲馬跡，就會對藝術史有獨特的理解。
為什麼巴赫的所有鋼琴曲聽上去都波瀾不驚、沒有太多起伏，譜面幾乎看不到強弱記號？樂評家通常的一個解釋是，巴赫的基督教信仰拒絕人世間的激情，導致他的作品天然追求清澈空靈，音樂沒有強弱感。
這就是用藝術領域自己的邏輯去解釋，聽起來也很有道理。
但用「同構」的方法來理解這個事，從技術發展史的角度來理解音樂發展史，結論就出來了。巴赫所在的年代，還沒有發明出能把音彈出強弱的鋼琴，不管你用什麼力度彈琴，音量都一樣。巴赫也想有激情，但那個時候的鋼琴(羽管鍵琴)不允許。
這是不是更加接近事物本來的面目？總結一下，這一篇介紹的「同構學習法」，一共有三個用處：第一，解決其他領域的問題；第二，理解其他領域的難點；第三，揭開其他領域被隱藏的秘密。