一個與哲學相關的數學問題

  聖彼得堡悖論是關於不確定性和無窮決策問題中最令人頭痛的一個。科學家從實際出發，進行了諸多消解這一悖論的嘗試，比如效用遞減論、風險厭惡論、效用上限論和結果上限論等，但它們最終並沒有解決這一問題。聖彼得堡悖論的理論模型不僅是一個概率模型，而且其本身就是一個統計的、近似的模型。當實際問題延伸至無窮大的時候，連這種近似也變得不可能了。

  聖彼得堡悖論是瑞士數學家丹尼爾·伯努利的堂兄尼古拉·伯努利於18世紀提出的，它來自於一個賭徒與莊家玩擲硬幣的遊戲。悖論點就出現在賭徒的期望收益無窮大與賭徒參加該賭局的預付賭金是一個常數。

  

  遊戲規則為：賭徒先預交一定數額的賭金，才能擁有參賭的資格。交完賭金之後，賭徒向空中拋擲一枚沒有被做過手腳的硬幣。

  若第一次擲出反面，賭徒什麼也得不到，賭局終止；若第一次擲出正面，莊家給賭徒2元獎金，且賭局繼續，賭徒再次擲硬幣。

  若第二次擲出反面，賭徒就只得拿著第一次擲出正面所得的2元錢退出賭局，賭局結束；若第二次擲出正面，莊家給賭徒4（2×2=4）元獎金，賭局繼續，賭徒接著擲第三次硬幣。

  若第三次擲出反面，賭徒拿著之前所得的4元錢退出賭局，賭局終止；若第三次擲出正面，莊家給賭徒8（2×2×2=8）元獎金，賭徒接著擲硬幣。

  ……

  以此類推，賭徒既可能運氣不好第一次就擲出反面而退出賭局，也可能燒了高香，次次都擲出正面，看著獎金成倍成倍地滾進自己的腰包。問題是，賭徒最多肯付多少錢參加這個遊戲？換句話說，就是莊家應將賭徒參加賭局的預付賭金設成多少元？

  賭徒最多肯付的錢就是他對該遊戲的期望值。那麼，賭徒進行這個遊戲的期望值是多少呢？答案是：無限大，賭徒肯付出無限量的金錢去參加這個遊戲。即無論莊家將預付賭金設成多少元，賭徒都會覺得這個賭局始終是對自己有利的，哪怕傾家蕩產也會投身其中。原因如下：

  因硬幣沒有被做過手腳，所以硬幣落地後，不是正面就是反面。即賭徒第一次擲出正面的可能性為1/2，獲得2元獎金的可能性也為1/2。賭徒得4元獎金的條件是：第一次和第二次均擲出正面，即得4元獎金的可能性為1/4。賭徒得8元獎金的條件是：第一次、第二次和第三次均擲出正面，即得8元獎金的可能性為1/8……

  假設賭徒需交給莊家的預付賭金為x元，則賭徒參加這場賭局的期望收益為：

  2×1/2+4×1/4+8×1/8+……-x

  很顯然，減號前面是一個無窮級數的和，就是說進行這樣一個賭局的期望收益為無窮大，換言之，無論莊家提出的預付賭金多高，賭徒在賭博與不賭博兩個策略之間的合理選擇都是前者，因為賭徒付給莊家的預付賭金是一個有限的數字，以一個有限大的付出博得一個無窮大的收益，當然是合算的。但實際上真的是這樣嗎？

  肯定不是，要真是這樣的話，開設這種賭局的莊家早就應該破產了。這個遊戲實際上就形成了一個悖論。

  在實際對局中，根據概率，賭徒想通過一長串的連續擲出正面來贏得一大筆獎金的可能性是極為渺小的，而失去預付賭金的可能性卻是極大的，因此，在莊家提出預付賭金的數額較高的情況下，賭徒選擇參加賭局是不明智、不合理的。

  假設莊家提出的預付賭金為20元，那麼賭徒損失18元的可能性為1/2，損失16元的可能性為3/4，損失12元的可能性為7/8，損失4元的可能性為15/16，而真正贏錢的可能性只有1/16。

  聖彼得堡悖論給予我們的啟示主要有兩點：

  ——它揭示了人們思維系統自身的矛盾性和不完善性，勸誡我們在解決實際問題的時候，要高度重視決策理論的研究跟實踐的關係，樹立理論模型既源於實踐又不同於實踐的觀念，而不要被理論模型蒙蔽了眼睛；

  ——許多悖論問題可以歸為數學問題，但同時也是思維科學和哲學問題，我們要多角度地對其進行考慮。

  伯努利通過對聖彼得堡悖論的分析指出，在風險和不確定條件下，個人的決策行為準則（參加賭局的結果）對於參與者的價值並非是獲得最大期望金額值（賭博結果的金錢值），而是為了獲得最大期望效用值（參與者對某一結果的主觀嚮往度，即參與者對它的心理價值）。

  人不能保證做出的任何一次決策都是理性的，考慮問題的出發點不同，其決策與判斷就存在著不同程度的偏差。因為人在不確定條件下做出的決策，不是依據客觀的決策結果本身，而是依據自己對決策結果的心理期望。換言之，就是人們在做出決策時，總是以自己的視角或參考標準來衡量，以此來決定做出何種決策。