誰的臉上有泥巴？

  我們將用一個有趣的推理故事來說明什麼是公共知識。

  假設教室中有n個孩子圍坐在一起，其中有m個孩子的臉上沾有泥巴。這些孩子除了看不到自己臉上是否有泥巴外，都能看到其他孩子臉上是否有泥巴。老師走進教室，對所有人說：「你們中有人臉上沾有泥巴，有的沒有泥巴，知道自己臉上沾有泥巴的孩子請舉手。」

  假定這群孩子個個都是邏輯學高手，都能夠進行嚴密的邏輯推理，並且他們之間也沒有進行信息交流。請問：當老師重複以上問話多少遍時，才會有孩子舉手，以及有多少個孩子同時舉手？這就是博弈論中著名的「臉上沾有泥巴的孩子」之謎。

  為了便於推理，現在我們假定n為10。

  在老師未進入教室之前，這10個孩子所組成的群體擁有的公共知識為：「任何一個孩子都具有邏輯推理能力」「每一個孩子都聽老師的話」「老師所說的每一句話都是真的」「每個孩子都不清楚自己臉上是否沾有泥巴」。

  當老師進入教室，說「你們中有人臉上沾有泥巴」時，就增加了這個群體擁有的公共知識——在他們所組成的這個群體中，至少有一個小孩的臉上是沾有泥巴的。也就是說，「至少有一個小孩的臉上是沾有泥巴的」成了這10個孩子的新的公共知識，即每個小孩都知道這個事實，每個小孩也都知道其他任何一個小孩知道他知道這個事實……

  老師接著說：「知道自己臉上沾有泥巴的孩子請舉手。」不管是有人舉手，還是沒有人舉手，每個小孩都是能夠觀察到的。就是說，當老師說過這句話之後，有人舉手或沒有人舉手現象的發生都會改變這個群體擁有的公共知識。

  假設這10個孩子中間有1個孩子的臉上沾有泥巴，除了這個沾有泥巴的孩子不知道自己的臉上沾有泥巴之外，其他孩子都能夠看到並且知道誰的臉上沾有泥巴。當老師說「你們中有人臉上沾有泥巴」後，臉上沾有泥巴的孩子看到其他孩子的臉上並沒有泥巴，他自然會推理出結論：自己的臉上沾有泥巴。

  而其他孩子根據現在掌握的信息和已有的公共知識是不能判斷出自己的臉上是否沾有泥巴的，所以，當老師說「知道自己臉上沾有泥巴的孩子請舉手」後，沾有泥巴的孩子馬上就會舉起手，而其他孩子則不會採取任何行動。

  假如這10個孩子中有2個孩子的臉上沾有泥巴，儘管老師公布了「你們中有人臉上沾有泥巴」這個信息，但2個臉上沾有泥巴的孩子因看到另外有1個孩子的臉上沾有泥巴，所以他們不能據此得出自己的臉上是否沾有泥巴，其他8個孩子也同樣不能得出自己臉上是否沾有泥巴。

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  因此，當老師第一次說「知道自己臉上沾有泥巴的孩子請舉手」後，10個孩子都沒有舉手。這時，所有孩子都知道現在這個情況不是上面所說的只有1個孩子的臉上有泥巴的情況了，換句話說，就是這10個孩子當中至少有2個孩子的臉上沾有泥巴。

  當老師第一次問話結束，所有孩子都沒有舉手時，這2個臉上沾有泥巴的孩子因只看到另外1個孩子的臉上沾有泥巴，馬上推理得出自己的臉上沾有泥巴。所以，當老師第二次說「知道自己臉上沾有泥巴的孩子請舉手」時，臉上沾有泥巴的2個孩子都舉起了手。

  如果這10個孩子的臉上都沾有泥巴，當老師第十次說「知道自己臉上沾有泥巴的孩子請舉手」時，這10個孩子便會不約而同地舉起手。

  由上面的分析我們可以得出，這個「臉上沾有泥巴的孩子」之謎的答案是：假定一群孩子中有m個孩子的臉上沾有泥巴，老師第一次到第m-1次說「知道自己臉上沾有泥巴的孩子請舉手」時，沒有一個學生主動舉手，這意味著他們都不清楚自己臉上是否沾有泥巴。當老師第m次說「知道自己臉上沾有泥巴的孩子請舉手」時，m個臉上沾有泥巴的孩子都舉起了手。

  對博弈而言，肯定存在著某些被大家共知的知識，即公共知識，而博弈均衡的產生也正是依賴於這些公共知識，只不過是不同博弈的公共知識不同而已。還可以確定的一點是，在博弈的過程中，大家的公共知識不是參與者知道的唯一內容，除此之外還存在著只有自己知道而別人不知道的內容。這可分為兩種情況：一是有些知識博弈雙方都知道，但不知道對方知道不知道，也不知道對方是否知道自己知道或不知道；另一種情況是，有些知識博弈的一方知道，而另一方不知道。