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兇猛海盜的邏輯

2024-10-11 16:45:02 作者: 徐文

  海盜,是一幫桀驁不馴的亡命之徒,乾的是搶人錢財、奪人性命的在刀刃上舔血的營生。然而,他們又是世界上最民主的團體,遵循投票制度下的少數服從多數的原則。海盜船上的唯一懲罰,就是把人丟到海里餵鯊魚。

  現在船上有5個海盜,要分搶來的100個金幣。分配規則如下:

  ——抽籤(1,2,3,4,5)確定分配順序;

  ——由抽到1號簽的海盜提出分配方案,然後5個海盜對這種分配方案進行表決,如果半數以上(含半數)的海盜贊同這一方案,那麼這一方案就獲得通過並按照這一方案進行分配,否則提出方案的1號海盜將被扔進大海餵鯊魚;

  ——如果1號海盜的分配方案未獲得通過而被扔進大海,再由抽到2號簽的海盜提出他的分配方案,然後4個海盜進行表決。當超過半數(含半數)的海盜贊同他提出的這一方案時,才按照他的分配方案進行分配,否則他的命運就和1號海盜一樣,將被扔入大海餵鯊魚;

  ——依此類推,3號、4號、5號海盜重複上述過程。直到找到一個讓超過半數(含半數)的海盜接受的分配方案。當然,如果最後只剩下5號海盜,他自然更願意接受一人獨吞全部金幣的結果,但這是不可能發生的。

  

  我們先要對這5個海盜做一些假設:

  ——每個海盜都是經濟學假設的理性人,都能非常理智地判斷得失,從而做出策略選擇。也就是說,每個海盜都知道自己和別的海盜在某個分配方案中所處的位置,並假定不存在海盜間的串通或私下交易;

  ——一個金幣是完整而不能被分割的,不可以你半個我半個;同時也不允許多個海盜共有一個金幣;

  ——每個海盜都希望自己能得到儘可能多的金幣,當然,誰也不願意自己被丟到海里餵鯊魚,這是最重要的一點;

  ——每個海盜都是名副其實、只為自己利益打算的功利主義者,他們會儘可能投票讓自己的同伴被丟進海里餵鯊魚,好多得或獨吞金幣;

  ——每個通過的分配方案都能順利執行,不存在海盜們不滿意分配方案而大打出手的情況。

  如果你是抽到1號簽的海盜,你該提出一個什麼樣的分配方案,既可以保證該方案能順利通過,避免自己被其他海盜丟進大海里,同時又能獲得最多的金幣呢?其最後的分配結果又會是一個什麼樣子呢?

  這是一道叫作「兇猛海盜的邏輯」的智力題,現在,大家都習慣稱其為「海盜分金問題」。

  這個分配規則給人的第一印象是:抽到1號簽的海盜太不幸了。因為每個海盜都從自己的利益出發,當然希望參與金幣分配的人越少越好,第一個提出方案的人,能活下去的概率是微乎其微的。即使他自己一分不要,把錢全部分給另外4個海盜,也未必會使那些人贊同他的分配方案,要真是這樣的話,他就只有死路一條。

  其實,抽到1號簽的海盜的處境也並沒有我們想像得那麼糟糕,只要1號海盜提出的分配方案能使其餘4個海盜中至少2個海盜同意,那麼他的這個方案就能獲得通過,他本人就可免於一死。基於這一考慮,1號海盜就要分析,為了使自己可以安全地活下去,他必須籠絡兩個處於劣勢的海盜(即在其他情況下,得到金幣最少的兩個人),使他們同意自己的分配方案。

  要使這兩個海盜同意的條件是,他的分配方案所分給這兩個海盜的金幣數要大於假若1號海盜被丟進大海,其他海盜的分配方案分給他們的金幣數,也就是說,如果這兩個海盜不同意他的分配方案,就將得到更少的金幣。

  那麼,抽到1號簽的海盜究竟會提出怎樣的分配方案呢?讓我們耐心看下去。

  要解決這個看似無頭緒的、複雜的問題,我們可以運用「向前展望,倒後推理」的倒推法,即從結尾出發倒推回去。其推理過程也應該是從後向前,因為在最後一步中,我們最容易看清楚什麼是好的策略,什麼是壞的策略。確定了這一點後,我們就可以藉助最後一步的結果,得到倒數第二步應該做何策略選擇,依此類推。

  如果你不按照這種推理方法進行,而打算從第1個海盜出發進行分析,就很容易因這樣一個問題——「如果我這樣做,下面一個海盜會如何做呢?」而陷入思維僵局,使你分析不了幾步就會進行不下去。

  因此,問題的突破口或者說分析的出發點應該是從僅剩4號和5號兩個海盜時入手。顯然,抽到5號簽的海盜是最不合作的,因為他沒有被丟到海里餵鯊魚的風險,並且每扔下去一個海盜,他的潛在的對手就少一個。

  5號海盜的最佳分配方案也一目了然:前面4個海盜都被丟到海里餵鯊魚,自己獨吞這100個金幣。但是,他的這種看似最有利的方案卻未必可行,因為當只剩下他和4號海盜的時候,4號海盜肯定會提出(100,0)的分配方案。當對此進行表決時,4號海盜肯定為自己的這個方案投贊成票,這樣就占了總數的一半,因此該方案獲得通過,5號海盜無法改變表決結果。所以,在只剩下4號海盜和5號海盜的時候,金幣的分配方案是(100,0)。

  現在我們來分析只有3號、4號、5號海盜存在時的情況。3號海盜根據5號海盜的處境,會提出(99,0,1)的分配方案。當對其進行表決時,4號海盜肯定不會同意,但5號海盜一定會投贊同票,因為如果5號海盜不投贊同票,則3號海盜被丟下大海是必然結果,接下來5號海盜就要面臨與4號海盜的單獨對局,按照上面的推理,他將一無所得。5號海盜的贊同票加上3號海盜自己的贊同票,3號海盜的分配方案順利通過。此時,金幣的分配方案是(99,0,1)。

  接著上面的思路再推回去。當有2號、3號、4號、5號海盜時,2號海盜根據理性推理,當然也會預測到他被拋下大海後的分配方案是(99,0,1),此時,他的最好的分配方案是(98,0,0,2),即放棄3號海盜和4號海盜,籠絡5號海盜。

  表決時,3號海盜和4號海盜肯定投反對票,但5號海盜會同意,因為照上面的分析,如果5號海盜不同意這一分配方案,將2號海盜丟進大海後他只能得到1個金幣,而同意2號海盜的分配方案他卻可以得到2個金幣。2號海盜再投上一票贊同票,這樣贊同票也占了全部票數的一半,該方案將獲得通過。此時,金幣的分配方案為(98,0,0,2)。

  最後我們來看1號海盜的最優分配方案。按照上面的分析,如果1號海盜被扔進大海,則3號海盜和4號海盜什麼也得不到,所以,1號海盜此時的分配方案就應該爭取處於絕對劣勢的3號海盜和4號海盜,分給3號海盜和4號海盜各1個金幣,即方案為(98,0,1,1,0)。當對這一方案進行表決時,3號海盜、4號海盜和1號海盜都會同意,這個方案當然就會獲得通過了。

  因此,海盜分金最終的分配方案是(98,0,1,1,0)。真是令人難以置信,看似最有可能被丟進大海餵鯊魚的1號海盜卻巧妙地利用了先發優勢,不但消除了死亡威脅,還成了最後的大贏家,獲得了98個金幣。而5號海盜,看起來最安全,根本就沒有被扔進大海餵鯊魚的威脅,但最後竟連一小杯羹都沒有分到。

  海盜分金的分配規則貌似公平:第一,抽籤決定分配順序,表明每個海盜的機會相等;第二,任何一個海盜提出的分配方案都要通過表決來進行,看起來也是比較民主的。但分配結果卻是那麼不盡人意,可以說是出人意料:收益最大的海盜分得了98個金幣,占了金幣總數的98%,而有的海盜卻什麼也沒分得。


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