兇猛海盜的邏輯
2024-10-11 16:45:02
作者： 徐文
海盜，是一幫桀驁不馴的亡命之徒，乾的是搶人錢財、奪人性命的在刀刃上舔血的營生。然而，他們又是世界上最民主的團體，遵循投票制度下的少數服從多數的原則。海盜船上的唯一懲罰，就是把人丟到海里餵鯊魚。
現在船上有5個海盜，要分搶來的100個金幣。分配規則如下：
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——抽籤（1，2，3，4，5）確定分配順序；
——由抽到1號簽的海盜提出分配方案，然後5個海盜對這種分配方案進行表決，如果半數以上（含半數）的海盜贊同這一方案，那麼這一方案就獲得通過並按照這一方案進行分配，否則提出方案的1號海盜將被扔進大海餵鯊魚；
——如果1號海盜的分配方案未獲得通過而被扔進大海，再由抽到2號簽的海盜提出他的分配方案，然後4個海盜進行表決。當超過半數（含半數）的海盜贊同他提出的這一方案時，才按照他的分配方案進行分配，否則他的命運就和1號海盜一樣，將被扔入大海餵鯊魚；
——依此類推，3號、4號、5號海盜重複上述過程。直到找到一個讓超過半數（含半數）的海盜接受的分配方案。當然，如果最後只剩下5號海盜，他自然更願意接受一人獨吞全部金幣的結果，但這是不可能發生的。
我們先要對這5個海盜做一些假設：
——每個海盜都是經濟學假設的理性人，都能非常理智地判斷得失，從而做出策略選擇。也就是說，每個海盜都知道自己和別的海盜在某個分配方案中所處的位置，並假定不存在海盜間的串通或私下交易；
——一個金幣是完整而不能被分割的，不可以你半個我半個；同時也不允許多個海盜共有一個金幣；
——每個海盜都希望自己能得到儘可能多的金幣，當然，誰也不願意自己被丟到海里餵鯊魚，這是最重要的一點；
——每個海盜都是名副其實、只為自己利益打算的功利主義者，他們會儘可能投票讓自己的同伴被丟進海里餵鯊魚，好多得或獨吞金幣；
——每個通過的分配方案都能順利執行，不存在海盜們不滿意分配方案而大打出手的情況。
如果你是抽到1號簽的海盜，你該提出一個什麼樣的分配方案，既可以保證該方案能順利通過，避免自己被其他海盜丟進大海里，同時又能獲得最多的金幣呢？其最後的分配結果又會是一個什麼樣子呢？
這是一道叫作「兇猛海盜的邏輯」的智力題，現在，大家都習慣稱其為「海盜分金問題」。
這個分配規則給人的第一印象是：抽到1號簽的海盜太不幸了。因為每個海盜都從自己的利益出發，當然希望參與金幣分配的人越少越好，第一個提出方案的人，能活下去的概率是微乎其微的。即使他自己一分不要，把錢全部分給另外4個海盜，也未必會使那些人贊同他的分配方案，要真是這樣的話，他就只有死路一條。
其實，抽到1號簽的海盜的處境也並沒有我們想像得那麼糟糕，只要1號海盜提出的分配方案能使其餘4個海盜中至少2個海盜同意，那麼他的這個方案就能獲得通過，他本人就可免於一死。基於這一考慮，1號海盜就要分析，為了使自己可以安全地活下去，他必須籠絡兩個處於劣勢的海盜（即在其他情況下，得到金幣最少的兩個人），使他們同意自己的分配方案。
要使這兩個海盜同意的條件是，他的分配方案所分給這兩個海盜的金幣數要大於假若1號海盜被丟進大海，其他海盜的分配方案分給他們的金幣數，也就是說，如果這兩個海盜不同意他的分配方案，就將得到更少的金幣。
那麼，抽到1號簽的海盜究竟會提出怎樣的分配方案呢？讓我們耐心看下去。
要解決這個看似無頭緒的、複雜的問題，我們可以運用「向前展望，倒後推理」的倒推法，即從結尾出發倒推回去。其推理過程也應該是從後向前，因為在最後一步中，我們最容易看清楚什麼是好的策略，什麼是壞的策略。確定了這一點後，我們就可以藉助最後一步的結果，得到倒數第二步應該做何策略選擇，依此類推。
如果你不按照這種推理方法進行，而打算從第1個海盜出發進行分析，就很容易因這樣一個問題——「如果我這樣做，下面一個海盜會如何做呢？」而陷入思維僵局，使你分析不了幾步就會進行不下去。
因此，問題的突破口或者說分析的出發點應該是從僅剩4號和5號兩個海盜時入手。顯然，抽到5號簽的海盜是最不合作的，因為他沒有被丟到海里餵鯊魚的風險，並且每扔下去一個海盜，他的潛在的對手就少一個。
5號海盜的最佳分配方案也一目了然：前面4個海盜都被丟到海里餵鯊魚，自己獨吞這100個金幣。但是，他的這種看似最有利的方案卻未必可行，因為當只剩下他和4號海盜的時候，4號海盜肯定會提出（100，0）的分配方案。當對此進行表決時，4號海盜肯定為自己的這個方案投贊成票，這樣就占了總數的一半，因此該方案獲得通過，5號海盜無法改變表決結果。所以，在只剩下4號海盜和5號海盜的時候，金幣的分配方案是（100，0）。
現在我們來分析只有3號、4號、5號海盜存在時的情況。3號海盜根據5號海盜的處境，會提出（99，0，1）的分配方案。當對其進行表決時，4號海盜肯定不會同意，但5號海盜一定會投贊同票，因為如果5號海盜不投贊同票，則3號海盜被丟下大海是必然結果，接下來5號海盜就要面臨與4號海盜的單獨對局，按照上面的推理，他將一無所得。5號海盜的贊同票加上3號海盜自己的贊同票，3號海盜的分配方案順利通過。此時，金幣的分配方案是（99，0，1）。
接著上面的思路再推回去。當有2號、3號、4號、5號海盜時，2號海盜根據理性推理，當然也會預測到他被拋下大海後的分配方案是（99，0，1），此時，他的最好的分配方案是（98，0，0，2），即放棄3號海盜和4號海盜，籠絡5號海盜。
表決時，3號海盜和4號海盜肯定投反對票，但5號海盜會同意，因為照上面的分析，如果5號海盜不同意這一分配方案，將2號海盜丟進大海後他只能得到1個金幣，而同意2號海盜的分配方案他卻可以得到2個金幣。2號海盜再投上一票贊同票，這樣贊同票也占了全部票數的一半，該方案將獲得通過。此時，金幣的分配方案為（98，0，0，2）。
最後我們來看1號海盜的最優分配方案。按照上面的分析，如果1號海盜被扔進大海，則3號海盜和4號海盜什麼也得不到，所以，1號海盜此時的分配方案就應該爭取處於絕對劣勢的3號海盜和4號海盜，分給3號海盜和4號海盜各1個金幣，即方案為（98，0，1，1，0）。當對這一方案進行表決時，3號海盜、4號海盜和1號海盜都會同意，這個方案當然就會獲得通過了。
因此，海盜分金最終的分配方案是（98，0，1，1，0）。真是令人難以置信，看似最有可能被丟進大海餵鯊魚的1號海盜卻巧妙地利用了先發優勢，不但消除了死亡威脅，還成了最後的大贏家，獲得了98個金幣。而5號海盜，看起來最安全，根本就沒有被扔進大海餵鯊魚的威脅，但最後竟連一小杯羹都沒有分到。
海盜分金的分配規則貌似公平：第一，抽籤決定分配順序，表明每個海盜的機會相等；第二，任何一個海盜提出的分配方案都要通過表決來進行，看起來也是比較民主的。但分配結果卻是那麼不盡人意，可以說是出人意料：收益最大的海盜分得了98個金幣，占了金幣總數的98%，而有的海盜卻什麼也沒分得。